一道數學題的巧妙解法 - 2024年7月2日

今日刷知乎，看到一個問題——

如何優雅地證明 $e >\sqrt{7} $

我的解法 #

看到這個題目，我的第一反應是借助 $ e $ 的級數展開式 $ e = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{1}{n!} $ 來解答，當然，本人並非數學系學生，所以下面的內容也並不嚴謹，僅僅是一個思路。

將其展開可以得到 $ e = 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots+\frac{1}{n!} $,

取前五項，計算可得$e>1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}\approx 2.7083$，

又易知$ \sqrt{7} < 2.6458 $，

因為$ 2.7083>2.6458 $，則可得 $e >\sqrt{7} $。

但列出這個思路之後，我不得不承認這並不「優雅」。

優雅的解法 #

我查閱網路，看到了一位網友運用Maclaurin級數的證明：

我們根據Maclaurin級數易知 $ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots $，

在此我們取$x=2$，可得$ e^2 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = 1 + 2 + \frac{2^2}{2!} + \frac{2^3}{3!} + \ldots $

又注意到截斷前四項後可得到 $ \sum_{n=0}^{4} \frac{2^n}{n!} = 7 $，

顯然，$e^2=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^n}{n!}>\sum _{n=0}^4\frac{2^n}{n!}=7$，

證畢。

緊跟時事的解法 #

因為$abcdefg\dots z$，

故$e>z$，

根據姜萍等式，$ \text{主}=6 $，

而$z=\text{主}-\text{點}=6-0.1=5.9$，

且${5.9}^2>7$，

故$5.9>\sqrt{7}$，

因此 $e >\sqrt{7} $，

證畢。