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決策分析

May 15, 2024

系統工程方法與模型
技術筆記 系統工程學 決策理論 管理科學 風險分析 信息價值

決策是管理的重要職能，是決策者對系統方案所做決定的過程和結果，決策時候決策者的行為和指責。

管理決策分析就是為幫助決策者在多變的環境條件下，進行正確決策提供的一套推理方法、邏輯步驟和具體技術，以及利用這些技術和方法選擇滿意行動方案的過程。

決策分析類型

決策問題的基本模式：

$ W_{ij} = f(A_i,\theta_j) \qquad i=1,2,\cdots,m \qquad j=1,2,\cdots,n $

  • $ A_i $ 是決策者第i種策略或方案，屬於決策變量，是決策者可控因素；

  • $ \theta_j $ 是決策者和決策對象（決策問題）所處的第$ j $種環境條件或自然狀態，屬於狀態變量，屬於狀態變量，是決策者不可控制因素；

  • $ W_{ij}是決策者在第j種環境條件下選擇第i$種策略的結果，是決策問題的價值函數值，一般叫益損值、效用值。

確定型問題分析

問題特徵

  1. 存在決策者希望達到的目標（收益大火損失小）；

  2. 存在著可供選擇的兩個以上的行動方案；

  3. 不同行動方案再自然狀態下的益損值可以計算出來；

  4. 存在一種確定的自然狀態；

求解方法

  1. 當方案數量較大時，常運用運籌學中規劃等方法來分析解決（線性規劃、動態規劃目標規劃等）；

  2. 如多階段確定型決策問題的求解方法——動態規劃方法；

  3. 嚴格來講，確定型問題知識優化計算的問題，而不是真正的管理決策分析問題。

典型例題

某企業準備生產甲產品，其單位售價為150元/件，單位可變成本為100元/件，固定成本為5000元，年產量200件。求解：

  1. 企業年獲利多少？
  2. 盈虧平衡產量為多少？
  3. 最低定價為多少時，企業不會虧損？
  4. 若目標利潤為1萬元，目標成本為多少？
  5. 原材料上漲和工人工資增加，使得單位可變成本上升至140元/件，若單位售價不變且無法轉產，企業是否該停止生產？

企業年獲利：

$ E=(P-V)N-F = (150-100)\times200-5000=5000 元 $

盈虧平衡產量：

$ N^{*}=\frac{F}{P-V}=\frac{5000}{150-100} = 100 件 $

盈虧平衡產量：

$ P^{*}=\frac{VN+F}{N}=100+\frac{5000}{200} = 125 元/件 $

目標利潤為1萬元的銷售量：

$ N_{目標}=\frac{F+E}{P-V}=\frac{5000+10000}{150-100} = 300 件 $

目標總成本：

$ VN_{目標}+F=100\times300+5000 = 35000 元 $

風險型問題分析

問題特徵

  1. 存在決策者希望達到的目標（收益大或損失小）；

  2. 存在著可供選擇的兩個以上的行動方案；

  3. 不同行動方案在自然狀態下的益損值可以計算出來；

  4. 存在兩種或以上的自然狀態；

  5. 可以預測不同自然狀態發生的概率。

求解方法

  1. 期望值；

  2. 矩陣法；

  3. 決策樹法。

風險型決策分析問題是一般現實情境中決策分析的主要內容，在基本方法基礎上，應注意把握信息價值及其分析以及決策者效用觀等重要問題。

不確定型問題分析

問題特徵

  1. 存在決策者希望達到的目標（收益最大或損失最小）；

  2. 存在兩個以上可供選擇的行動方案；

  3. 不同行動方案在自然狀態下的益損值可以計算出來；

  4. 存在兩種或以上的自然狀態；

  5. 不同自然狀態發生的概率無法預測。

求解方法

  1. 樂觀法（最大最大原則）;

  2. 悲觀法（最小最大原則）;

  3. 後悔值法（SaVage準則或後悔值最大最小原則）;

  4. 等概率法（Laplace准則，一種特殊的風險型決策）。

典型例題

某企業準備生產一種新產品。估計該產品的銷售量有較高、一般、較低、很低四種情況，而對每種狀態出現的概率則無法預測。為生產該產品，企業有三種實施方案：新建一個車間進行生產；改造一個現有車間進行生產；部分零件在現有車間生產，部分零件外購。該新產品企業準備生產10年，10年內在不同狀態下的損益值（扣除投資費用）如表5-1所示。請分別用樂觀法、悲觀法和後悔值法來決策實施方案。

市場銷售額較高市場銷售額一般市場銷售額較低市場銷售額很低
建立新車間850420-150-400
改造現有車間600400-100-350
部分生產、部分外購40025090-50

樂觀法：

每個不同方案在不同狀態下的最大受益分別為：

maxA1{850,420,−150,−400}=850

maxA2{600,400,−100,−350}=600

maxA3{400,250,90,−50}=400

取各方案最大受益值中的最大值，可得：

$ max\{850,600,400\} = 850 $

即對應方案$ A_1 $，建立新車間。

悲觀法：

每個不同方案在不同狀態下的最小受益分別為：

minA1{850,420,−150,−400}=−400

minA2{600,400,−100,−350}=−350

minA3{400,250,90,−50}=−50

取各方案最小受益值中的最大值，可得：

$ max\{-400,-350,-50\} = -50 $

即對應方案$ A_3 $，部分生產、部分外購。

後悔值法：

取每個狀態下最大的收益值，將之與其餘方案下的收益值做差，隨後求的每個方案的最大後悔值進行比較。

市場銷售額較高市場銷售額一般市場銷售額較低市場銷售額很低
建立新車間850*420*-150-400
改造現有車間600400-100-350
部分生產、部分外購40025090*-50*
市場銷售額較高市場銷售額一般市場銷售額較低市場銷售額很低最大後悔值
建立新車間00-240350350
改造現有車間25020190300300
部分生產、部分外購45027000450

取各方案最大後悔值中的最小值，可得：

$ max\{350,300,450\} = 300 $

即對應方案$ A_2 $，改造現有車間。

等概率法：

假定各狀態發生概率相同，通過計算各方案的收益期望值進行比較，取個方案收益期望值的最大值，選擇對應方案，因方法過於簡單，不再贅述。

風險型問題分析

問題特徵

  1. 存在決策者希望達到的目標（收益大或損失小）；

  2. 存在著可供選擇的兩個以上的行動方案；

  3. 不同行動方案在自然狀態下的益損值可以計算出來；

  4. 存在兩種或以上的自然狀態；

  5. 可以預測不同自然狀態發生的概率。

求解方法

  1. 期望值；

  2. 矩陣法；

  3. 決策樹法。

風險型決策問題是一般決策分析的主要內容，在基本方法的基礎上，應注意把握信息價值及其分析以及決策者效用觀等重要問題。

期望值法

期望值法就是利用概率論中隨機變量的數學期望公式算出每個行動方案的益損期望值並加以比較。若採用決策目標（準則）是期望收益最大，則選擇收益期望值最大的行動方案為最優方案；反之，若決策目標是期望費用最小，則採用費用期望值最小的方案為最優方案。

$ E(X) = \sum{P_iX_i}$

  • $ X_i是隨機離散變量X的第i個取值，i=1,2,\cdots,m $;

  • $ P_i是X = X_i $時的概率。

決策樹法

所謂決策樹法，就是利用樹形圖模型來描述決策分析問題，並直接在決策樹圖上進行決策分析其決策目標（準則），也可以是益損期望值或經過變換的其他指標值。

典型例題：

某輕工企業要決定一產品明年的產量，以便及早做好生產前的各項準備工作。假設產量的大小主要根據該產品的銷售價格好壞而定。根據以往市場銷售價格統計資料及市場預測信息得知：未來產品銷售價格出現上漲、價格不變和價格下跌三種狀態的概率分別為0.3，0.6和0.1。若該產品按大、中、小三種不同批量（即三種不同方案）投產，則下一年度在不同價格狀態下的益損值可以估算出來，如下表所示。現要求通過決策分析來確定下一年度的產量，使該產品能獲得的收益期望為最大。

價格上漲 $ \theta_1 $價格不變 $ \theta_2 $價格降低 $ \theta_3 $
0.30.60.1
大批生產$ A_1 $4036-6
中批生產$ A_2 $363424
小批生產$ A_3 $201614

根據題目描述可繪製出決策樹如下

多級決策樹法

如果只需作一次決策，其分析求解即告完成，則這種決策分析問題就稱為單級決策。反之，有些決策問題需要經過多次決策才告完成，則這種決策問題就是多級決策問題。應用決策樹法進行多級決策分析稱為多級決策樹法。

信息的價值

信息與決策的關係十分密切。要獲得正確的決策，必須依賴足夠和可靠的信息。決策所需信息的分類：一類是完全信息，即據此可以得到完全肯定的自然狀態，有助於正確的決策；一類是抽樣信息，這是一類不完全可靠的信息。

完全信息價值

典型例題

某化工廠生產一種化工產品。對統計資料的分析表明，該產品的次品率可以分成五個多級（即五種狀態），每個等級（狀態）的概率如下：

次品率$ S_1 $（0.02）$ S_2 $（0.05）$ S_3 $（0.10）$ S_4 $（0.15）$ S_5 $（0.20）
概率0.200.200.100.200.30

由進一步的分析發現，產品次品率的高低與該產品所用主要原料的純度有關。今已知，化工原料純度高次品率低（如$ S_1為0.02），反之則次品率高。而化工原料的純度高低，又與運輸、保存日期等因素有關。潮此，工廠主管生產的部門建議在生產該產品前，先對該化工原料增加一道「提純」工序，通過提純工序，能使全部原料處於S_1 $狀態，從而降低了次品率。但增加提純工序就必須增加工序費用。

經過核算可知，每批原料的提純費用為3400元。經估算，在不同純度狀態下其益損值如下表所示。如果在生產前，先將化工原料檢驗一下，通過檢驗可以掌握每批化工原料處於何種純度狀態，這樣可以對不同純度的原料採用不同策略，即提純或不提純，從而使益損期望值為最大。

次品率$ S_1 $（0.02）$ S_2 $（0.05）$ S_3 $（0.10）$ S_4 $（0.15）$ S_5 $（0.20）
概率0.200.200.100.200.30
提純$ A_1 $10001000100010001000
不提純$ A_2 $440032002000800-400

根據題目描述可繪製出決策樹如下

抽樣信息價值

典型例題

某公司有50,000元多餘資金，如用於某項目開發，估計成功率為96%，成功時一年可獲利12%，但一旦失敗，有喪失全部資金的危險。如把資金存放到銀行中，則可穩得年利6%。 獲取更多情報，該公司求助於諮詢服務，諮詢費用為500元，但諮詢意見只提供參考。根據過去諮詢公司類似200例諮詢意見實施結果，具體情況見下表所示。

投資成功投資失敗合計
可以投資1542156
不宜投資38644
合計1928200

根據題目描述可繪製出決策樹如下

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