無球諧外觀表示與神經顏色解碼

反照率偽標籤經過跨視角校準和質量路由後，仍需通過具體的外觀參數化進入 3DGS。球諧係數、逐高斯潛在特徵和共享顏色網絡都能生成視角相關顏色，卻具有不同的參數共享範圍、頻率偏置與梯度路徑。除了最終 RGB 的表達能力，外觀參數化還決定圖像誤差由哪些參數吸收，以及有多少梯度能繼續修正高斯幾何。

球諧顏色的解析結構 #

3DGS 為第$i$個高斯保存球諧（Spherical Harmonics，SH）係數，用觀察方向$\mathbf{d}\in {\mathbb{S}}^2$解碼顏色 [1]。對顏色通道$c$，階數為$L$的展開為

令

則三通道顏色可以緊湊寫成

固定方向後，顏色對係數是線性的：

這一結構帶來穩定而便宜的前向計算，也使每個高斯的外觀參數相互獨立。$L=0$只有常量顏色；增加階數後，基函數數量按$(L+1{)}^2$增長。3DGS 常逐步啟用更高階球諧，使優化先建立近似漫反射基色，再學習視角相關分量。

球諧函數是定義在完整球面上的正交基，但訓練相機只覆蓋有限方向集合$\{{\mathbf{d}}_v\}$。對單個高斯，把這些方向上的基向量堆疊成

可辨識的係數方向由$\mathrm{rank}({\mathbf{Y}}_i)$決定。若高斯僅從很窄的視角範圍可見，某些高階基在採樣方向上近似相關，${\mathbf{Y}}_i^{\mathsf{T}}{\mathbf{Y}}_i$會病態。訓練視圖顏色可以擬合得很好，未觀測方向卻可能出現振盪或顏色突變。解析基的正交性只在連續完整球面積分下成立，不保證有限相機採樣下的數值正交。

共享神經解碼器的參數組織 #

無球諧表示通常讓每個高斯保存低維潛在特徵${\mathbf{f}}_i\in {\mathbb{R}}^D$與可選顏色偏置${\mathbf{b}}_i$，再由共享網絡$F_{\mathit{\varphi }}$根據特徵和視角生成顏色：

$\gamma$是方向編碼，$g$決定輸出域。LDR 顏色可以使用 sigmoid 或有界映射；在線性 HDR 域中，上界會截斷亮度，LE3D 使用指數輸出

並用多視圖投影顏色的對數均值初始化偏置，使初始輸出接近觀測亮度 [2]。

共享網絡把外觀先驗從“每個高斯獨立的一組解析係數”改為“每個高斯代碼與全局解碼函數”。其參數量近似為

球諧參數量則為

當$N$很大且$D<3(L+1{)}^2$時，潛在代碼可以降低逐高斯存儲；但共享網絡的計算成本、緩存訪問和批處理方式會進入渲染開銷。參數更少也不等於表達更弱：$F_{\mathit{\varphi }}$在全部高斯之間共享統計規律，能夠用非線性組合複用容量。

解碼與 Alpha 混合的次序 #

“先解碼再混合”和“先混合再解碼”經常都被稱為顏色 MLP，二者在非線性網絡下並不等價。

逐高斯解碼先得到

再執行 Alpha 混合：

像素級解碼先聚合特徵

再生成顏色：

若$F$對特徵是仿射函數，且權重已歸一化，則兩者可以相等。對一般非線性網絡，令

在$\bar{\mathbf{f}}$附近作二階展開：

按${\tilde{w}}_i$求和後，一階項消失：

差異由特徵在射線上的方差和網絡曲率共同決定。單一表面、權重高度集中時，兩者接近；遮擋邊界、半透明區域或多層高斯混合時，像素級解碼會先把不同表面的特徵混在一起，可能生成任何一個高斯都沒有的顏色。逐高斯解碼保持圖元語義，代價是對每個可見高斯執行網絡或查表。

視角方向的導數 #

球諧顏色的方向導數為

最高階數限制了方向頻率，也使導數具有明確的解析結構。神經解碼器則有

若方向編碼包含高頻正餘弦，$\partial \gamma /\partial \mathbf{d}$會隨頻率增大；網絡能夠表示更尖銳的視角變化，也更容易在訓練方向之間出現高頻振盪。對鏡面高光這可能是必要容量，對漫反射牆面則可能成為記憶相機方向的捷徑。

方向本身由相機中心${\mathbf{o}}_v$與高斯位置${\mathit{\mu }}_i$決定：

令$r=\parallel {\mathit{\mu }}_i-{\mathbf{o}}_v{\parallel }_2$，則

因此，顏色對位置還存在一條經過觀察方向的路徑：

當神經外觀對方向非常敏感時，移動高斯不僅改變投影權重，也會顯著改變解碼顏色。幾何梯度由此混入外觀方向導數，位置更新更難單獨解釋為投影對齊。

外觀容量與幾何補償 #

設所有像素殘差堆疊為

${\mathit{\theta }}_g$是幾何參數，${\mathit{\theta }}_a$是外觀參數。局部線性化得到

消去外觀增量後的幾何正規矩陣為

中括號把可以由外觀子空間解釋的殘差方向投影出去。$\mathrm{col}({\mathbf{J}}_a)$越大，落到幾何上的有效信息越少。增加 MLP 寬度、潛在特徵維度或方向編碼頻率，可能提高訓練圖像擬合，同時降低某些幾何方向的條件數。外觀容量與幾何質量之間不存在單調關係。

一個更直觀的標量例子是帶顏色斜率的邊緣。設投影位置誤差為$\delta u$，圖像梯度為$I_u$，外觀偏置為$\delta b$，殘差近似為

若$\delta b$可自由調整，則取$\delta b=-I_u\delta u$可以完全抵消位置誤差。給偏置加入${\lambda }_b\delta b^2$後，消去$\delta b$得到位置方向的有效曲率

${\lambda }_b\to 0$時，幾何曲率趨近於零；強約束外觀後，位置才重新受到圖像證據約束。這個推導解釋了為何獨立顏色偏置既能加速初期擬合，也可能在弱紋理區域長期掩蓋幾何偏移。

反照率與陰影分支的規範 #

若神經解碼器輸出反照率與陰影

並組合為

則本徵分解的尺度自由度直接進入三維外觀表示。對正數$\mathbf{k}$，

保持顏色不變；若還有自由偏置${\mathbf{b}}_i$，加性誤差也能被第三條路徑吸收。僅用 RGB 重建損失無法讓分支獲得穩定語義。

跨視角反照率偽監督為$\mathbf{A}$選擇規範，陰影正則限制$\mathbf{S}$的空間與時間變化，偏置容量則應保持受控。聯合目標可以寫成

如果$w_A=0$，反照率與陰影的變量名不保證任何分解；如果$w_A$過大且偽標籤有偏，錯誤材質會反向污染共享特徵。第 6 篇中的質量路由恰好控制這一入口。

對像素級特徵解碼，還需決定反照率偽標籤監督的是

還是

兩者的差異仍由網絡曲率和射線特徵方差決定。在遮擋邊界處，前者容易把前後表面的材質代碼混合，後者更接近可見圖元的反照率合成；但後者計算更重，並要求每個圖元分支具有明確含義。

初始化、複製與分裂 #

神經顏色表示引入了新的結構演化問題。高斯複製或分裂時，子高斯通常繼承父高斯的${\mathbf{f}}_i$與${\mathbf{b}}_i$。這樣能保持渲染連續，但兩個子高斯初始外觀完全相同。若後續可見視角也相似，它們可能長期無法分化。

設兩個子高斯特徵為

對稱小擾動可打破完全相同的狀態，但$\mathit{ϵ}$過大會在緻密化瞬間造成顏色閃爍。另一種方式是複製特徵而改變幾何，讓可見性差異自然產生不同梯度。選擇取決於解碼器是否容易出現特徵塌縮，以及渲染連續性要求。

偏置初始化同樣影響優化。若使用觀測顏色均值初始化${\mathbf{b}}_i$，網絡殘差從接近零開始，能夠快速得到合理圖像；但觀測均值包含陰影和曝光，偏置可能先佔據本應由反照率或陰影分支解釋的成分。初始化提供的是優化起點，不應被當作材質估計。

解析基與神經解碼的取捨 #

球諧適合受限頻率的視角相關外觀，計算路徑簡單；神經解碼適合線性 HDR、複雜相機響應或需要顯式反照率/陰影接口的場景。選擇外觀模型時，至少要同時報告訓練視圖擬合、新視角穩定性、方向導數、幾何指標與運行開銷。只比較 PSNR 會把外觀容量和幾何質量混為一個結論。

無球諧表示的真正變化不在於刪除一組係數，而在於重新分配場景級與圖元級參數。共享網絡可以建立跨高斯外觀先驗，潛在代碼可以提供更靈活的輸入，反照率分支也能接收經過路由的偽監督；相應代價是非線性混合、規範自由度和更大的外觀捷徑空間。《傳播式增密中的候選生成與幾何門控》將局部 RGB 梯度不足時的結構增長問題獨立展開，並保留這條外觀消元視角。